Barnsleys Fractal Top
Was ist ein Fractal Top?
Ein gewöhnliches IFS-Fraktal (Iterated Function System) - etwa Barnsleys Farn - entsteht aus einer endlichen Menge kontrahierender Abbildungen, die abwechselnd auf einen Punkt angewendet werden. Jeder Punkt des entstehenden Attraktors lässt sich dabei eindeutig durch eine unendliche Symbolfolge beschreiben: die Folge der Abbildungsnummern, die man rückwärts durchlaufen muss, um genau diesen Punkt zu erreichen. Man nennt diese Symbolfolge die Adresse des Punktes - ganz analog zur Dezimal- oder Binärdarstellung einer reellen Zahl, nur dass hier statt Ziffern die Nummern der IFS-Abbildungen verwendet werden.
Barnsleys entscheidende Beobachtung war: Wenn zwei völlig verschiedene IFS
dieselbe Anzahl von Abbildungen besitzen, teilen sie sich denselben Adressraum.
Ein und dieselbe Symbolfolge liefert dann einen Punkt im ersten Attraktor und
einen Punkt im zweiten - auch wenn die beiden Attraktoren geometrisch völlig
unterschiedlich aussehen. Über diese gemeinsame Adresse lässt sich Information
vom einen Attraktor auf den anderen übertragen. Nimmt man als zweites IFS eines,
dessen Attraktor sich einfach auf ein Foto abbilden lässt, kann man jedem Punkt
des ersten Attraktors die Farbe "seines" Adress-Partners im Bild zuordnen. Diese
Technik nennt Barnsley Color Stealing, und das Ergebnis - eine fraktale
Form, die die Farben eines fremden Bildes trägt - ist der Fractal Top:
Der Name "Top" bezieht sich dabei nicht auf einen Kreisel, sondern auf die
sogenannte top address: die - im Sinne einer festgelegten
Ordnung auf dem Adressraum - "oberste" bzw. größte gültige Adresse, die zu
einem gegebenen Punkt des Attraktors gehört. Da ein Punkt je nach
Überlappung der Abbildungen mehrere gültige Adressen besitzen kann, wählt
man für die Farbübertragung konsistent diese ausgezeichnete Adresse aus.
Barnsley zeigt, dass es eine stetige surjektive Abbildung (die sogenannte Codierungs-
oder Projektionsabbildung) vom Codespace auf den geometrischen Attraktor (das Fraktal) gibt.
Wozu kann man Fractal Tops verwenden?
Generative Kunst und Bildsynthese. Statt Fraktale mit berechneten oder frei gewahlten Farbverläufen zu füllen, lässt sich die Farbigkeit eines beliebigen Fotos auf eine fraktale Geometrie übertragen. So entstehen Bilder, die die Komplexität und den Detailreichtum echter Fotografien mit der Selbstähnlichkeit fraktaler Formen verbinden - ein eigenständiges gestalterisches Werkzeug jenseits klassischer Farbverlaufs- oder Orbit-Trap-Methoden.
Sichtbarmachung von Adressräumen. Fractal Tops machen ein sonst abstraktes Konzept der IFS-Theorie - die symbolische Dynamik bzw. den Adressraum eines Attraktors - unmittelbar sichtbar: Punkte mit ähnlicher Adresse (ähnlicher "Entstehungsgeschichte") tragen ähnliche Farben, wodurch die Selbstähnlichkeitsstruktur des Fraktals optisch hervortritt.
Verknüpfung unterschiedlicher Fraktale. Da der Mechanismus nicht auf Fotos beschränkt ist, lassen sich auch zwei fraktale Geometrien über denselben Adressraum verbinden - man kann z. B. die "Farbe" eines Sierpinski-Dreiecks auf einen Farn übertragen. Das eröffnet eine große gestalterische Bandbreite, weil Geometrie und Farbgebung völlig unabhängig voneinander gewählt und kombiniert werden können.
Grundlage für weiterführende Techniken. Das Adresskonzept hinter den Fractal Tops ist zugleich die Basis für fortgeschrittenere Verfahren wie fraktale Transformationen und V-variable Fraktale, mit denen sich mehrere Bilder oder Formen zu neuen, hybriden Strukturen verschmelzen lassen. Sie schaffen eine Brücke zwischen der symbolischen Welt der Adressen und der geometrischen Welt der Fraktale und ermöglichen so Transformationen, die mit klassischen geometrischen Methoden nicht realisierbar wären.
Im Folgenden werden einige eigene Umsetzung des Fractal-Top-Prinzips
in Processing behandelt - mit einem geometrieerzeugenden IFS, einem farbgebenden zweiten
IFS und der Adressberechnung, die beide miteinander verbindet. Alle hier erwähnten
Sketche können unten heruntergeladen werden.
Um dieses Kapitel zu verstehen, sollte man Kenntisse bezüglich
Chaos Games besitzen.
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