Die Frage, die wir hier anschaulich beantworten wollen, lautet: Ist eine affine Abbildung für
alle Punktepaare kontrahierend, wenn sie es für ein Punktepaar ist?
Die App unten unterscheidet sich nicht wesentlich von der App aus dem
letzten Kapitel.
Links sehen wir nun das originale und das mittels Matrix abgebildete Punktepaar.
Rechts hingegen ist als Urbild der Einheitskreis dargestellt. Die blauen Punkte links liegen
auf diesem Kreis. Wenn man nun alle Punkte des Einheitskreises abbildet, bekommt man
die rote Ellipse.
Noch bevor auch nur eine Taste gedrückt wird, stellt man fest, dass die Abbildung zwar für einige
Punktepaare kontrahierend ist, für andere aber nicht. Würde man beim Einheitskreis den untersten
und den obersten Punkt wählen, so wäre der Abstand dieser Bildpunkte größer als der ursprüngliche
Abstand.
Verwenden Sie nun die Tasten um die Matrix zu verändern. Wann ist die gesamte Abbildung
kontrahierend?
Sicher haben Sie bemerkt, dass in dem Augenblick, in dem die Ellipse vollständig im Kreis liegt, "Abbildung
kontrahierend" angezeigt wird. Das war zu erwarten, denn wenn man alle Punkte des Kreises abbildet
hat man alle Richtung eines Punktepaares gleichzeitig getestet.
Im Fall der ursprünglichen Matrix (also ohne Tasteneingabe) wird der Abstand eines waagrechten Punktepaares
mit Faktor 0.5 verkürzt. Wohingegen ein senkrechtes Punktepaar mit Faktor 1.2 gestreckt wird.
Wir definieren nun den größt möglichen Streckungsfaktor als Spektralnorm der Matrix.
Für die euklidische Norm:
\(\|A\|=\sup _{x\ne 0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}=\max _{\|x\|=1}\|Ax\|\)
Damit lautet unser Kriterium einfach: \(\Vert{}A\Vert{} < 1\)
Merksatz:
Eine Abbildung ist nur dann kontrahierend, wenn jede Richtung verkürzt wird.
Deshalb genügt es nicht, den Abstand eines einzelnen Punktpaares zu betrachten.