In diesem und im nächsten Kapitel verwenden wir den euklidischen Abstand. Er ist es,
den wir selbstverständlich voraussetzen, wenn beispielsweise die Breite eines Tisches angegeben werden soll.
Weiterhin beschränken wir uns auf affine Abbildungen der Ebene in sich selbst.
Mathematisch würde man diese Abbildung so formulieren:
Gegeben ist ein Punkt $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$
Dieser wird durch die Matrix A und den Translationsvektor t
auf einen neuen Punkt $$\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$$ abgebildet.
$$\mathbf{x}' = \mathbf{A} \cdot \mathbf{x} + \mathbf{t}$$
Ausgeschrieben in Komponenten:$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_x \\ t_y \end{pmatrix}$$
Das bedeutet im Einzelnen:$$x' = a \cdot x + b \cdot y + t_x$$ $$ y' = c \cdot x + d \cdot y + t_y$$
Auf Wikipedia beispielsweise werden
affinen Abbildungen (externer Link)
anschaulich erklärt.
Der Vektor t verschiebt den durch die Matrix abgebildeten Punkt lediglich. Das heißt, er spielt keine
Rolle, bei der Änderung der Größenverhältnisse bezüglich Urbild und Bild.
In der folgenden App kann man beobachten,
wie sich der Abstand bei einem Punktepaar (blau) ändert, wenn man es mit Hilfe der Matrix auf ein neues Punktepaar (rot)
abbildet. Mit Hilfe der Tasten lassen sich die Werte der Matrix vergrößern bzw. verkleinern. Beachten Sie dabei
vor allem den Quotient der Abstände! Beachten Sie, dass der dort angezeigte Quotient keinesfalls auch für andere
Punktepaare gelten muss!
Einfach ausgedrückt ist eine affine Abbildung für ein Punktepaar kontrahierend, wenn der Abstand der
Bildpunkte kleiner ist, als der Abstand der Urbildpunkte.
Die nächste Frage muss lauten: Wann ist eine affine
Abbildung für alle Punkte kontrahierend? Kann ein einzelnes Punktepaar täuschen? Und genau das können Sie auf der
nächsten Seite untersuchen.