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Mengen- und Maß- Attraktore

In diesem Kapitel betrachten wir affine Kontraktionen eines IFS, die auf einer kompakten Teilmenge A, zum Beispiel ein Rechteck, aus ℝ² wirken. Zuvor haben wir einen oder mehrere Punkte viele Millionen mal iteriert. Hier hingegen wird bei jedem Schritt die gesamte Menge iteriert. Ob man nun einzelne Punkte, kompakte Mengen oder Bilder iteriert, ist gleichgültig. Das Ziel ist immer den oder die Attraktore zu suchen.
Es ist ratsam, sich vor der Beschäftigung mit diesem Kapitel die Theorie der Chaos Games anzusehen. .

Mengen-Attraktore

In der klassischen IFS-Theorie ist ein Attraktor eine kompakte Punktemenge A, die unter affinen Kontraktionen f_i invariant ist. Ein typisches Beispiel ist das Sierpinski-Dreieck, aber auch der links abgebildete Farn. Auf A werden nacheinander alle f_i des IFS angewandt. Die Vereinigung ist das neue Bild. Der Operator, der dies durchführt heißt Hutchinson-Operator. Er wirkt auf einem (Hausdorff-) metrischen Raum. Und so sieht die Formel dazu aus:

Nehmen wir an, das IFS besteht aus vier kontrahierenden f_i. Man kann sich vorstellen, dass jede Funktion f_i das Startbild verkleinert und eventuell verdreht und verzerrt. Diese vier Bilder klebt man nun auf die Oberfläche. Im Bild links wurde zum besseren Verständnis die Wahl von f_i farblich festgehalten. Auf diese Weise erkennt man zumindest drei veränderte Kopien des ursprünglichen Bildes sofort. Es sind die Teile mit den Farben grün, rot und violett. Der fehlende vierte Teil ist nicht so deutlich erkennbar: Es ist der schwarze Stil. Dabei interessiert nicht, ob sich Teile überlagern (hier tun sie das nicht) oder ob die neuen Punkte mehrfach getroffen werden. Wichtig ist nur, ob ein bestimmtes Pixel Teil der Ergebnismenge ist oder nicht. Von daher braucht man für einen Mengen- Attraktor nur eine Farbe.
Wenn also gilt, dass F(A) = A, dann ist dieses A der Attraktor.
Beachten Sie, dass es sich hier nicht um ein Chaos-Game handelt. Die in diesem Fall vier Funktionen werden gleichmäßig nacheinander angewandt. Als Matrix A, die die Information für die einzelnen Pixel enthält, reicht es, boolean [][] A zu verwenden. Es geht ja nur um die Information, ob das Pixel getroffen wurde oder nicht.

Maß-Attraktore

Um ansprechende Attraktore bzw. Fraktale zu erzeugen, ist eine Farbe allein etwas dürftig. Deutlich interessanter waren die hier schon vielfach erzeugten "Dichtebilder". Bei ihnen zählt man, wie oft ein Pixel getroffen wird und nutzt diese Zahl für die Wahl der Farbe.
Barnsley betrachtet in seinem Buch "Superfractals" die Sache aus einem etwas anderen Blickwinkel. Die Funktionen f_i eines IFS wirken nicht auf Punkte sondern auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung μ. .
Träger der Wahrscheinlichkeiten μ ist weiterhin die Menge. Das heißt, die f_i verformen wie beim Mengen-Attraktor mit der Wahrscheinlichkeit p_i das ursprüngliche Bild.
Die Frage ist hier nicht, wie verändert sich die Menge unter den IFS, sondern wie verändern sich die Wahrscheinlichkeiten unter den Abbildungen f_i. Der Operator, der dies leistet heißt Markov-Operator. Das ist seine Formel:

Auch wenn man sich nicht in aller Tiefe mit dem mathematischen Hintergrund beschäfigen will, möchte man schon in Grundzügen verstehen, was genau der Markov-Operator tut. Im Bild oben links sehen Sie eine schwarz umrandete Fläche A. Wir wollen wissen, wie der Operator M die Wahrscheinlichkeitsverteilung dort bestimmt. Dazu müssen wir wissen, welche Bereiche nach Anwendung von M dort landen werden. Wir kennen μ bei den Urbildern von f_i, nämlich
μ(f_i^-1(A), also die am Urbild gültige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dieser Wert muss dann noch mit der zu f_i gehörigen Wahrscheinlichkeit p_i multipliziert werden. Schlussendlich werden danach alle Werte aufsummiert. M ist auf der Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße definiert und liefert ein neues Maß μ.
Gilt M(μ) = μ dann heißt μ "invariantes Maß" oder "Maß-Attraktor". Der zugehörige Träger A ist dann der Punktmenge-Attraktor. Wenn die Matrix M die Information des Maßes für ein Pixel enthalten soll, dann wählt man int [][] M .

Nun zu dem farbigen Farn oben links. Man kann ihn sich als Heat-Map vorstellen, von dunkelblau bis hellrot. Dunkelblau als geringe und hellrot als hohe Trefferquote. Die Farben sind nicht das Maß, sie zeigen uns nur anschaulich die Punkt- oder Trefferdichte μ. Nun wenden wir den Markov-Operator mehrfach an. Nach und nach tauchen mehr Farben auf. In dem Moment, in dem sie sich nicht mehr verändern, haben wir auf Pixelgenauigkeit den Maß-Attraktor gefunden.
Zunächst noch etwas Hintergrundwissen, dann können Sie die Iterationen für Mengen- und Maß- Attraktore selbst ausprobieren.

Um die Invarianz des Maß-Attraktors mit Hilfe der Farben beurteilen zu können, soll eine Menge A (im Folgenden die Raster-Punkte in einem Rechteck) mehrfach iteriert werden. Würde man statt dessen, wie bisher, nur einen Punkt viele Millionen Mal iterieren, dann könnte man die Entwicklung aller Raster-Punkte des ersten Rechtecks nicht sehen.
Iteriert man aber alle Rasterpunkte der kompakten Ursprungsmenge A gleichzeitig, kann man die Farb - also die Maß- Entwicklung gut beobachten. Im Bild unten sind die ersten 15 Iterationen von A dargestellt. (Reihenfolge: von links oben nach rechts unten). Zu Beginn kommt jeder Rasterpunkt (also ein Pixel) genau einmal vor und damit die gleiche Farbe. Da die IFS kontrahierend sind, müssen immer mehr Pixel mehrfach getroffen werden.

Am Anfang verändern sich sowohl die Form als auch die Farbe sehr stark. Wir sehen,dass sich bereits nach etwa 10 Iterationen nur noch an den Rändern des Farns die Farbe ändert. Hier nun das Ergebnis nach 100 Abbildungen:

Die Auflösung ist durch die Pixeldichte bestimmt. Noch deutlich vor 100 Abbildungen ändert sich das Maß in dieser Auflösung nicht mehr. Kleine Schwankungen an den Rändern beruhen auf Rundungsfehlern. Daher bekommen wir hier eine gute Vorstellung vom Maß-Attraktor des IFS.

Nun können Sie in der folgenden Anwendung eigene Experimente starten. Die kompakte Menge A ist hier wesentlich kleiner, als im obigen Beispiel. Sie sollten weiter unten ein kleines Quadrat sehen, dessen Rastpunkte sie nun iterieren werden. Die Funktion der Tasten ist in der Tabelle unten erklärt. Sehr gut kann man erkennen, dass sich die Punkte an den Spitzen aus dem Staub machen wollen, will heißen, es gibt dort Divergenz. Der Grund für dieses Verhalten sind Rundungsfehler.

Tasten- oder Mausaktion	Wirkung
Taste h	Hutchinson-Operator
Taste m	Markov-Operator
Taste l	stoppen und löschen
Taste c	IFS-Parameter leicht ändern
Taste g	Farbe verändern
Taste S	Start und Stopp der Anwendung

Sehen Sie sich zum Vergleich noch die Anwendung für den Blatt-Attraktor an. Zuvor sollten Sie beim obigen Farn-Attraktor die Taste 'l' für löschen drücken. Damit wird der Prozess gestoppt und der Prozessor kann sich dem "Blatt-Attraktor" widmen.






Bereits nach 20 Iterationen ändert sich auch hier das Maß nur noch geringfügig.
Bild unten: links 40, rechts 50 Iterationen.

Sketch Menge-Mass Farn            Sketch Menge-Mass Blatt

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