Attraktore und Metrik
Die Rolle der Metrik bei Attraktoren
Ein Attraktor ist per Definition ein Zustand oder eine Menge, auf die sich ein System im Laufe der Zeit (oder durch wiederholte Anwendung einer Funktion) zubewegt. Die Metrik misst den Abstand d(xn,A) zwischen dem aktuellen Zustand des Systems und dem Attraktor A. Das System "landet" meist nicht exakt auf dem Attraktor, sondern der Abstand geht im Grenzwert gegen Null:
Das Banachsche Fixpunkttheorem (Kontraktionsabbildung):
Viele Attraktoren (insbesondere in der IFS-Theorie nach Michael Barnsley) werden durch Iterierte Funktionensysteme (IFS) erzeugt. Eine Abbildung f muss auf einem vollständigen metrischen Raum (wie ℝ2 mit der euklidischen Metrik) eine Kontraktion sein. Das bedeutet, es gibt eine Konstante k < 1, sodass für alle Punkte x und y gilt:
Die Metrik erzwingt hier, dass die Abbildung Punkte näher zusammenzieht. Der Attraktor ist dann der eindeutige Fixpunkt dieser Kontraktion.
Die Hausdorff-Metrik (Abstand zwischen Mengen):
Um den Raum der ganzen Mengen (also der geometrischen Formen wie dem Attraktor selbst) zu untersuchen, nutzt man die sogenannte Hausdorff-Metrik. Sie misst den Abstand zwischen zwei verschiedenen geometrischen Formen. Der Attraktor ist in diesem Raum der Fixpunkt einer Mengen-Abbildung, und die iterierten Formen konvergieren in der Hausdorff-Metrik gegen das fertige Fraktal.
Merksatz:
Eine Metrik legt fest, wie Abstände gemessen werden.
Deshalb können dieselben zwei Punkte je nach Metrik
unterschiedliche Abstände besitzen.
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